همبستگی

همبستگی:معیاری است که برای تعیین میزان ارتباط دو متغیر استفاده میشود.یعنی بررسی این موضوع که اگر یک متغیر را تغییر دهیم متغیر دیگر هم دچار تغییر خواهد  شد یا نه؟ شاخص آماری که  میزان و حدود همبستگی بین متغیر ها را نشان می دهد ضریب همبستگی نامیده میشود. ضریب همبستگی را می توان با استفاده از رگرسیون مشخص کرد زیرا علامت ضریب همبستگی با علامت شیب خط رگرسیون یکی است.یعنی اگر شیب خط رگرسیون مثبت باشد  ضریب همبستگی نیز مثبت  و اگر شیب خط رگرسیون منفی باشد ضریب همبستگی نیز منفی است همچنین اگر شیب خط رگرسیون صفر باشد ضریب همبستگی نیز صفر می شود.

و سپس با توجه به علامت ضریب همبستگی می توان به صورت زیر نتیجه گیری کرد:

- همبستگی مثبت : یعنی اگر یک متغیر افزایش یابد متغیر دیگر نیز افزایش میا بد

- همبستگی منفی : یعنی اگر یک متغیر افزایش یابد متغیر دیگر کاهش میابد

همبستگی صفر: یعنی بین دو متغیر رابطه ای وجود ندارد.

همچنین می توان ضریب همبستگی را با استفاده از فرمول زیر نیز به دست آورد

R= (∑xy - nµxµy)/(√∑x2 -nµx2 √∑y2 -nµy2 )

با توجه به ضریب همبستگی می توان ضریب تعیین را نیز به دست آورد

 به دست r2   از ضریب تعیین برای توضیح رابطه بین متغیرها استفاده میشود که از رابطه

می آید.

در تفسیر ضرایب همبستگی توجه به نکات زیر ضروری است :

ضرایب همبستگی تابع تغییرات ساده خطی نسیت. مثلا" نمی توان گفت که ضریب 8/0، دو برابر ضریب 4/0 می باشد و یا تفاوت ضرایب 85/0 و 55/0 با تفاوت ضرایب 65/0 و 35/0 برابر است

همبستگی با ابطه علت و معلولی تفاوت دارد و به هیچ عنوان مبین رابطه علت و معلولی بین متغیرها نیست.

ضریب همبستگی پیرسون: این شاخص زمانی به کار برده می شود که متغیرها با مقیاس فاصله ای یا نسبی اندازه گیری شده باشند و به آن ضریب همبستگی گشتاوری نیز گفته می شود. فرمول اصلی این ضریب همبستگی عبارت است از:

Rxy= ∑x.y/n.sx.sy

 : ضریب همبستگی rxy

X : انحراف از میانگین x

 Y : انحراف از میانگین y

 X : انحراف استاندارد  sx

Y   : انحراف استاندارد sy

 : تعداد اعضای جامعه آماریn

 

برای محاسبه ضریب همبستگی  از راه داده های خام میتوان از فرمول زیر استفاده کرد:

Rxy=( n∑XY - ∑X∑Y)/√[n∑X2 – (∑X)2] [n∑Y2 – (∑Y)2]

همچنین میتوان ضریب همبستگی را با  استفاده از روش انحراف از میانگین محاسبه کرد:

Rxy = ∑x.y/√∑x2∑y2

 

 

مثال : در جدول زیر اطلاعات مربوط به روزهای غیبت و میزان اضطراب کارکنان یک موسسه دولتی نشان داده شده است می خواهیم ضریب همبستگی این دو متغیر را بااستفاده از دو روش داده های خام و انحراف از میانگین محاسبه کنیم.

  

	روزهای  غیبت	میزان اضطراب	X2	Y2	X.Y
A	2	14	4	196	28
B	0	10	0	100	0
C	3	8	9	64	24
D	6	6	36	36	36
E	4	2	16	4	8
	∑X =15	∑Y=40	∑X2=65	∑Y2=400	∑XY=96

 

R= 5(96)-15(40)/√[5*65-(15)2][5*400 –(40)2]  = -0.60

	روزهای  غیبت	میزان اضطراب	x	y	x2	y2	X.Y
A	2	14	-1	6	1	36	-6
B	0	10	-3	2	9	4	-6
C	3	8	0	0	0	0	0
D	6	6	-2	-2	4	4	-6
E	4	2	-6	-6	36	36	-6
	∑X =15	∑Y=40	∑X=0	∑Y=0	20	80	∑XY=-24

R=-24/√20*80    = -0.6

ضریب همبستگی اسپیرمن: حالتی از ضریب همبستگی پیرسون است و زمانی به کار می رود که متغیره با مقیاس رتبه ای اندازه گیری شده باشند.ضریب همبستگی اسپیرمن از فرمول زیر محاسبه میشود:

Rp =1- 6∑D2/n(n2-1)

 : تفاوت رتبه ها D