توابع احتمال گسسته

هدف این فصل آشناسازی دانشجویان با متغیرهای تصادفی گسسته ، توابع احتمال و توزیع های مربوط به آنهاست

آزمون مقایسه دو میانگین

این آزمون زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که مقیاس مورد استفاده حداقل فاصله ای باشد. توزیع صفات مورد اندازه گیری نرمال باشد.و انتخاب نیز تصادفی صورت گرفته باشد.

 بدین صورت استTفرمول آزمون

T = µ_x1 - µ_x2 / √s₁² /n₁+s₂²/n₂

  و درجه α را محاسبه کرده و سپس با توجه به مقدار T  در این فرمول مقدار

 را از جدول پیدا می کنیم T آزادی مقدار

 جدول باشد فرض صفر رد می شود.T محاسبه شده بزرگ تر از T اگر

درجه آزادی از فرمول زیر بدست می آید:

Df= n₁ +n₂ -2

آزمون خی دو یا کای دو

این آزمون در مقیاس اسمی و ترتیبی به کار می رود که توزیع فراوانی آن در دست باشد.

) و فراوانیO در این آزمون هدف این است که آیا بین فراوانی های مشاهده شده (

 اختلاف معنی داری وجود دارد؟ یعنی نتیجه بدست آمده (E) های مورد انتظار

ناشی از شانس و تصادف است یا نه؟  فرمول این آزمون عبارت است از:

c² = ∑(O-E)²/E

 را از جدول پیدا کردهc² مقدار α بعد از محاسبه درجه آزادی و با توجه به مقدار

 محاسبه شده مقایسه میکنیم.c² و با مقدار

 جدول بود فرض صفر رد میشود. c² محاسبه شده بزرگتر از c² اگر مقدار 

 درجه آزادی برای این آزمون از فرمول زیر بدست می آید:

Df=(C-1)(R-1)

 

 معرف ردیف است: R : معرف ستون و c

مثال: فرض می کنیم 3 نوع چای داریم می خواهیم بدانیم افراد از بین این 3 نوع چای کدام را ترجیح می دهند؟

تعداد افراد مورد آزمایش 120 نفر است فراوانیهای مورد انتظار اگر تفاوتی بین انواع چای وجود نداشته باشد انتخاب همه افراد باید مثل هم باشد . بنابراین برای 3 نوع چای

است پس از نظر خواهی از افراد ترجیحات آنها به صورت زیر ثبت شده استE=40

 

	A	B	C	جمع
O E	60 40	25 40	35 40	120 120

با توجه به جدول بالا و تعداد ستونها و ردیفها درجه آزادی برابر با 2 بدست می آیداگر

 باشد کای دو جدول 5.99 بدست می آید.α=5%

c2 = (60-40)2 +(24-40)2 +(35-40)2/40 = 54.1

چون کای دو محاسبه شده بزرگتر از کای دو جدول است بنابراین فرض صفر رد میشود.

همبستگی

همبستگی:معیاری است که برای تعیین میزان ارتباط دو متغیر استفاده میشود.یعنی بررسی این موضوع که اگر یک متغیر را تغییر دهیم متغیر دیگر هم دچار تغییر خواهد  شد یا نه؟ شاخص آماری که  میزان و حدود همبستگی بین متغیر ها را نشان می دهد ضریب همبستگی نامیده میشود. ضریب همبستگی را می توان با استفاده از رگرسیون مشخص کرد زیرا علامت ضریب همبستگی با علامت شیب خط رگرسیون یکی است.یعنی اگر شیب خط رگرسیون مثبت باشد  ضریب همبستگی نیز مثبت  و اگر شیب خط رگرسیون منفی باشد ضریب همبستگی نیز منفی است همچنین اگر شیب خط رگرسیون صفر باشد ضریب همبستگی نیز صفر می شود.

و سپس با توجه به علامت ضریب همبستگی می توان به صورت زیر نتیجه گیری کرد:

- همبستگی مثبت : یعنی اگر یک متغیر افزایش یابد متغیر دیگر نیز افزایش میا بد

- همبستگی منفی : یعنی اگر یک متغیر افزایش یابد متغیر دیگر کاهش میابد

همبستگی صفر: یعنی بین دو متغیر رابطه ای وجود ندارد.

همچنین می توان ضریب همبستگی را با استفاده از فرمول زیر نیز به دست آورد

R= (∑xy - nµxµy)/(√∑x2 -nµx2 √∑y2 -nµy2 )

با توجه به ضریب همبستگی می توان ضریب تعیین را نیز به دست آورد

 به دست r2   از ضریب تعیین برای توضیح رابطه بین متغیرها استفاده میشود که از رابطه

می آید.

در تفسیر ضرایب همبستگی توجه به نکات زیر ضروری است :

ضرایب همبستگی تابع تغییرات ساده خطی نسیت. مثلا" نمی توان گفت که ضریب 8/0، دو برابر ضریب 4/0 می باشد و یا تفاوت ضرایب 85/0 و 55/0 با تفاوت ضرایب 65/0 و 35/0 برابر است

همبستگی با ابطه علت و معلولی تفاوت دارد و به هیچ عنوان مبین رابطه علت و معلولی بین متغیرها نیست.

ضریب همبستگی پیرسون: این شاخص زمانی به کار برده می شود که متغیرها با مقیاس فاصله ای یا نسبی اندازه گیری شده باشند و به آن ضریب همبستگی گشتاوری نیز گفته می شود. فرمول اصلی این ضریب همبستگی عبارت است از:

Rxy= ∑x.y/n.sx.sy

 : ضریب همبستگی rxy

X : انحراف از میانگین x

 Y : انحراف از میانگین y

 X : انحراف استاندارد  sx

Y   : انحراف استاندارد sy

 : تعداد اعضای جامعه آماریn

 

برای محاسبه ضریب همبستگی  از راه داده های خام میتوان از فرمول زیر استفاده کرد:

Rxy=( n∑XY - ∑X∑Y)/√[n∑X2 – (∑X)2] [n∑Y2 – (∑Y)2]

همچنین میتوان ضریب همبستگی را با  استفاده از روش انحراف از میانگین محاسبه کرد:

Rxy = ∑x.y/√∑x2∑y2

 

 

مثال : در جدول زیر اطلاعات مربوط به روزهای غیبت و میزان اضطراب کارکنان یک موسسه دولتی نشان داده شده است می خواهیم ضریب همبستگی این دو متغیر را بااستفاده از دو روش داده های خام و انحراف از میانگین محاسبه کنیم.

  

	روزهای  غیبت	میزان اضطراب	X2	Y2	X.Y
A	2	14	4	196	28
B	0	10	0	100	0
C	3	8	9	64	24
D	6	6	36	36	36
E	4	2	16	4	8
	∑X =15	∑Y=40	∑X2=65	∑Y2=400	∑XY=96

 

R= 5(96)-15(40)/√[5*65-(15)2][5*400 –(40)2]  = -0.60

	روزهای  غیبت	میزان اضطراب	x	y	x2	y2	X.Y
A	2	14	-1	6	1	36	-6
B	0	10	-3	2	9	4	-6
C	3	8	0	0	0	0	0
D	6	6	-2	-2	4	4	-6
E	4	2	-6	-6	36	36	-6
	∑X =15	∑Y=40	∑X=0	∑Y=0	20	80	∑XY=-24

R=-24/√20*80    = -0.6

ضریب همبستگی اسپیرمن: حالتی از ضریب همبستگی پیرسون است و زمانی به کار می رود که متغیره با مقیاس رتبه ای اندازه گیری شده باشند.ضریب همبستگی اسپیرمن از فرمول زیر محاسبه میشود:

Rp =1- 6∑D2/n(n2-1)

 : تفاوت رتبه ها D

رگرسیون خطی

رگرسیون خطی: در  رگرسیون خطی میتوان  از متغیرهایی که به سادگی سنجیده می شوند(مانند سن و درآمد) برای پیش بینی متغیرهایی استفاده کرد که سنجش آنها سخت تر و پر هزینه تر است.(مانند مشارکت در دوره های آموزشی مدیریت).از رگرسیون در همبستگی استفاده میشود به این ترتیب که ما در رگرسیون یک رابطه ریاضی را مشخص کرده به طوری که با آن بتوان کمیت متغیری مجهول را با استفاده از متغیرهای معلوم تعیین کرد  و سپس در همبستگی به دنبال تعیین نوع رابطه و میزان  ارتباطی هستیم که متغیرها را به هم ربط می دهد.

برای تحلیل رگرسیون مدل سازی ضرورت دارد مدل سازی به صورت خطی یا چندگانه انجام میشود.

 

برای مدل خطی از معادله خط استفاده میکنیم که به صورت زیر است

Y= ax + b

 نشان دهنده متغیر مستقل است و x  نشان دهنده متغیر وابسته و y در این معادله

 عرض از مبدا را نشان می دهد.b شیب خط  و a

برای به دست آوردن معادله خط  کافی است تا دو نقطه از خط را داشته باشیم. برای به دست آوردن شیب خط از فرمول زیر استفاده می شود:

a =(y2 – y1)/(x2 –x1) 

در صورتی که تعداد داده ها زیاد باشد رگرسیون خطی را از فرمول زیر محاسبه می کنیم:

µy = aµx +b

 a= ∑x.y – n µy. µx /∑x2 n µx

 

 

مثال: در  جدول زیر هزینه تبلیغات یک شرکت (برحسب میلیون ریال) و تعداد فروش محصولش (بر حسب ملیون ریال)  نشان داده شده است برای پیدا کردن معادله خط رگرسیون به طریق زیر عمل میکنیم:

 

 

 

x	y	∑xy	x2
3	11	33	9
5	20	100	25
4	16	64	16
7	24	168	49
9	26	234	81
6	15	90	36
5	21	105	25
4	18	72	16
8	27	216	64
∑x=51	∑y=178	∑xy=1082	∑x2= 321

 

 

 

 

µx = 51/9 = 5.667              

 µy = 178/9 = 19.778

 A = 1082 -9(5.667)(19.778)/321-9(5.667)2 = 2.292

 b= 19.778 – 2.292 (5.667) = 6.789

Y= 2.292 x +6.789